Vorwissenstest zur Differential- & Integralrechnung

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Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $$f(x) = x^3 + \sin(x).$$

Antwort: $f'(x) = $

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $$g_a(x) = a\cdot x^3 + \cfrac{\sin(x)}{a^2}.$$

Antwort: $g'_a(x) = $

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $$h_x(a) = a\cdot x^3 + \cfrac{\sin(x)}{a^2}.$$

Antwort: $h'_x(a) = $

Aufgabe 4:

Wählen Sie alle Stammfunktionen der Funktion $f(x) = 2\cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$ aus.

$\sin(x)^2$

$\cos(x)^2$

$1 - \cos(x)^2$

$2\cdot \sin(x)^2$

$-\cos(x)^2$

$\cfrac{1}{2}\cdot\tan(x)^2$

Aufgabe 5:

Markieren Sie unten einen Wendepunkt des gegebenen Funktionsgraphen. Ziehen Sie dazu den weißen Punkt nach links oder rechts. Die Aufgabe gilt als gelöst, wenn ein Wendepunkt im orangen Kreis liegt.

Aufgabe 6:

Gegeben seine Funktion $f$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und deren Ableitung überall existiert. Wählen Sie alle wahren Aussagen aus:

(a) Wenn die Ableitung $f'(x) \geq 0$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$, dann ist die Funktion $f$ monoton steigend.

(b) Wenn die Ableitung $f'(x) < 0$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$, dann ist die Funktion $f$ monoton fallend.

(c) Wenn die Ableitung $f'(x) \geq 0$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$, dann ist die Funktion $f$ streng monoton steigend.

(d) Wenn die Funktion $f$ streng monoton fallend ist, dann ist die Ableitung $f'(x) < 0$ für alle $x\in\mathbb{R}$.

(e) Wenn $f$ konstant ist, dann ist auch die Ableitung $f'$ konstant.

(f) Wenn die Ableitung $f'$ konstant ist, dann ist auch die Funktion $f$ konstant.

Aufgabe 7:

Wählen Sie eine Funktion aus, die die Differentialgleichung

$$f'(x) = f(x)\cdot (1 - f(x))$$
für alle $x\in\mathbb{R}$ erfüllt.

$f(x) = e^x$

$f(x) = 1 + e^{-x}$

$f(x) = \cfrac{1}{1 + e^{-x}}$

$f(x) = \cfrac{e^x}{1 + e^{-x}}$

$f(x) = \cfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Aufgabe 8:

Unten sehen Sie eine nicht-maßstabsgetreue Abbildung eines Bauteils im Querschnitt. Seine beiden Ecken sitzen genau in gegenüberliegenden Ecken eines Rechtecks der Breite a und Höhe b. Die Unterseite des Bauteils kann als nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel im Eck links unten modelliert werden. Die Oberseite ist von derselben Form – nur nach unten geöffnet mit Scheitel rechts oben. Bestimmen Sie die gezeigte Querschnittsfläche des Bauteils.

Antwort: Die Fläche beträgt:

Aufgabe 9:

Ein Patient nimmt zum Zeitpunkt $t=0$ eine Mahlzeit zu sich. Unten sehen Sie ein Diagramm, das angibt, wie schnell er über die nächsten Stunden hinweg Glukose in den Blutkreislauf absorbiert hat. Die Absorptionsrate ist dabei in Gramm pro Stunde angegeben. Die Punkte im Diagramm stellen die Messwerte dar. Es wird hier vereinfachend angenommen, dass die Absorptionsrate zwischen den Messungen konstant ist. Fahren Sie mit der Maus über die Punkte für die genauen Messdaten.

Bestimmen Sie, wie viel Glukose nach sechs Stunden insgesamt absorbiert wurde.

Antwort: Es wurden $\mathrm{g}$ aborbiert.